Category: Երկրաչափություն 8

1․ Ո՞ր ուղիղն է կոչվում շոշափող:

Եթե ուղիղը շրջանագծի հետ ունի մեկ ընդհանուր կետ, ապա այն կոչվում է շրջանագծի շոշափող:

2. Գրել շրջանագծի շոշափողի հատկությունները:

Շոշափումը և շրջանագիծը միայն մեկ ընդհանուր կետ ունեն:
Շոշափողը շրջանագծի հետ ունի միայն մեկ ընդհանուր կետ, որը կոչվում է շոշափման կետ:

Շոշափողի ուղղաձիգ լինելը շառավղին:
Շոշափման կետում շոշափողը ուղղահայաց է լինում այն շառավղին, որը անցնում է նույն կետով:

Շոշափողների երկարությունների հավասարությունը:
Միևնույն արտաքին կետից դեպի շրջանագիծ գծված երկու շոշափողներն ունեն հավասար երկարություններ:

Կոնկրետությունը արտաքին կետի համար:
Շոշափողը գոյություն ունի միայն այն դեպքում, երբ տվյալ կետը գտնվում է շրջանագծի սահմաններից դուրս:

Շոշափողի անկյունը:
Եթե երկու շոշափողներ անցնում են միևնույն արտաքին կետով, ապա այդ շոշափողներն իրար հետ կազմում են հավասար անկյուններ:

3. Տրված է՝  ∠CAO=29°

Հաշվել ՝ ∠ABO և ∠COA

4. Տրված է՝ AB=12մ BO=5մ։ Գտնել CA-ն և OC-ն

5. AB ուղիղը B կետում շոշափում է O կենտրոնով և r=2,5 սմ շառավիղով շրջանագիծը: Գտնել ABO եռանկյան անկյունները, եթե AO=5 սմ:

ABO-ի անկյուններն են՝

• OBA=90∘
• AOB=30∘
• OAB=60∘

6. Տրված է O կենտրոնով և 3,5 սմ շառավիղով շրջանագիծ: A կետն այնպիսին է, որ AO=7 սմ: A կետով տարված են այդ շրջանագծի երկու շոշափողներ: Գտնել դրանց կազմած անկյունը:

Շոշափողներով կազմված անկյունը հավասար է 60∘:

7. AB-ն և AC-ն O կենտրոնով շրջանագծին A կետից տարված շոշափողների հատվածներն են : Գտնել BAC անկյունը, եթե AO հատվածի միջնակետը գտնվում է այդ շրջանագծի վրա:

BAC=60°

8. Տրված է A անկյանը, որի կողմերը շոշափում են O կենտրոնով և 6,78 սմ շառավղով շրջանագիծը: Հաշվել OA հատվածի երկարությունը, եթե  ∠A=60°:

OA=13.56սմ

Գիտելիքների ստուգում։

1.  Քանի՞ համաչափության առանցք ունի հավասարասրուն եռանկյունը։

Հավասարասրուն եռանկյունն ունի 1 համաչափության առանցք

2. Ո՞ր մարմինն է կոչվում   պրիզմա ։

Պրիզման կոչվում է բազմանիստ, որի երկու նիստերը հավասար ու զուգահեռ բազմակողմանիքներ են, իսկ մնացած նիստերը՝ ուղղանկյուններ։     

3․ Քանի՞ նիստ, կող, գագաթ ունի ուղղանկյումանիստը։

6 նիստ, 12 կող, 8 գագաթ։

4․ Խորանարդի անկյունագծի  քառակուսին երկարությունը հավասար է  48 սմ²։ Գտնել խորանարդի կողի  երկարությունը։

4 սմ

5․ Գտնել տասնհինգանկյան պրիզմայի կողերի,  գագաթների, նիստերի քանակը։

Նիստերի քանակ՝ 17, Կողերի քանակ՝ 45, Գագաթների քանակ՝ 30:

Ո՞ր մարմինն է կոչվում  բուրգ։

Բուրգն  այն  բազմանիստն  է, որի  նիստերից  մեկը  բազմանկյուն  է, իսկ  մյուս  բոլոր նիստերն  ընդհանուր  գագաթով  եռանկյուններ  են:

2.GEOGEBRA ծրագրով գծիր  բուրգ։

3.Ո՞ր նիստերն են կոչվում հիմքեր, կողմնային նիստեր:

Բազմանկյունը  կոչվում  է  բուրգի  հիմք, եռանկյունները՝  կողմնային  նիստեր ,իսկ եռանկյունների  ընդհանուր  գագաթը՝  բուրգի  գագաթ։ Բուրգի գագաթը հիմքի բազմանկյան գագաթներին միացնող հատվածները կոչվում են կողմնային կողեր, իսկ գագաթի հանդիպակաց կողմերը՝ հիմքի կողեր։

4․Գտեք վեցանկյան բուրգի կողերի, գագաթների, նիստերի քանակը,

GEOGEBRA     ծրագրով գծեք վեցանկյուն բուրգ:

5․Կարո՞ղ է բուրգի կողերի թիվը լինել՝

   ա) 13      բ) 16      գ) 19։     Պատասխանը հիմնավորել։

Միայն “բ) 16” է հնարավոր, որովհետև կողերի թիվը պետք է զույգ լինի։

6․Կարո՞ղ է լինել այնպիսի բուրգ, որն ունի ՝

   ա) 9 նիստ,         բ)  9 կող։    Պատասխանը հիմնավորել։

ա) Այո, 9 նիստ ունեցող բուրգ հնարավոր է, եթե հիմքը ութանկյուն է։

բ) Ոչ, 9 կող ունեցող բուրգ լինել չի կարող, որովհետև կողերի թիվը միշտ զույգ է։

7․ Ինչպե՞ս է կոչվում այն բուրգը, եթե այն ունի

   ա) 13 նիստ     բ) 10 գագաթ    գ) 12 կող։

8․Քառանկյուն բուրգի հիմքը 64 սմ պարագծով քառակուսի է, իսկ կողմնային նիստերը

     հավասարակողմ եռանկյուններ են։ Գտեք բուրգի կողմնային կողերը։

Թեմա՝ Ուղղանկյունանիստ և խորանարդ։

Մեր շրջակայքի շատ առարկաներ ունեն այնպիսի զուգահեռանիստի տեսք, որի բոլոր նիստերը ուղղանկյուններ են: Այդպիսի առարկաներ են շենքերը, սենյակները, տուփերը, պահարանները:

Զուգահեռանիստը, որի կողմնային կողերն ուղղահայաց են հիմքին կոչվում է ուղիղ զուգահեռանիստ:

Այն ուղիղ զուգահեռանիստը, որի հիմքերն ուղղանկյուններ են կոչվում է ուղղանկյուն զուգահեռանիստ կամ պարզապես՝ ուղղանկյունանիստ:

Քանի որ ցանկացած ուղիղ զուգահեռանիստի կողմնային կողերն ուղղահայաց են հիմքին, ապա ուղղանկյունանիստի կողմնային նիստերն ուղղանկյուններ են:

Ուղղանկյունանիստի բոլոր վեց նիստերը ուղղանկյուններ են:

Ուղղանկյունանիստի ընդհանուր գագաթով երեք կողերի երկարությունները անվանում են ուղղանկյունանիստի չափսեր՝ երկարություն, լայնություն, բարձրություն:

Այն ուղղանկյունանիստը, որի բոլոր կողերը հավասար են, կոչվում է խորանարդ:

Պարզ է, որ խորանարդի բոլոր նիստերը միմյանց հավասար քառակուսիներ են:

Ուղղանկյունանիստի բոլոր չորս անկյունագծերը հավասար են, հատվում են մի կետում և հատման կետում կիսվում են:

Եթե ACC₁ ուղղանկյուն եռանկյունից արտահայտենք ուղղանկյունանիստի անկյունագիծը՝ AC₁²=AC²+CC₁²,

և ADC ուղղանկյուն եռանկյունից արտահայտենք հիմքի անկյունագիծը՝ AC²=AD²+DC², ապա ստանում ենք՝ AC₁²=AD²+DC²+CC₁²

Ուղղանկյունանիստի անկյունագծի քառակուսին հավասար է նրա երեք չափսերի քառակուսիների գումարին՝ D²=a²+b²+c²

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ո՞ր մարմինն է կոչվում ուղղանկյունանիստ։ GEOGEBRA ծրագրով գծել ուղղանկյունանիստ։

2․ Ի՞նչ երկրաչափական պատկերներից է կազմված ուղղանկյունանիստը։

Ուղղանկյունանիստը կազմված է 4 ուղղանկյունից և 2 քառակուսուց

3․ Ո՞ր մարմինն է կոչվում խորանարդը։ GEOGEBRA ծրագրով գծել խորանարդ։

4․ Քանի՞ նիստ, կող, գագաթ ունեն ուղղանկյունանիստն ու խորանարդը։

Երկուսն ել ունեն Վեց նիստ,տասներկու կող,ութ գագաթ:

5․ Որո՞նք են ուղղանկյունանիստի չափումները։

Ուղղանկյունանիստը ունի երեք չափում՝

1. Երկարություն
2. Լայնություն
3. Բարձրություն

6․ Համեմատել խորանարդը և ուղղանկյունանիստը։

Նմանություններ

1. Նիստերի, կողերի և գագաթների քանակ: Եվ՛ խորանարդը, և՛ ուղղանկյունանիստը ունեն 6 նիստ, 12 կող և 8 գագաթ։
2. Ծավալ: Երկու մարմինների ծավալը հաշվարկվում է կողմերի արտադրյալով․
   • Խորանարդի համար՝ V=a3V = a^3V=a3,
   • Ուղղանկյունանիստի համար՝ V=a×b×cV = a \times b \times cV=a×b×c։
3. Մակերես: Երկու մարմինների մակերեսը նույնպես հաշվարկվում է նիստերի մակերեսների գումարով․
   • Խորանարդի համար՝ S=6a2S = 6a^2S=6a2,
   • Ուղղանկյունանիստի համար՝ S=2(ab+ac+bc)S = 2(ab + ac + bc)S=2(ab+ac+bc)։

Տարբերություններ

1. Կողերի չափեր:
   • Խորանարդ: Խորանարդի բոլոր կողերը հավասար են՝ a=b=ca = b = ca=b=c։
   • Ուղղանկյունանիստ: Ուղղանկյունանիստում կողերը կարող են տարբեր լինել՝ a≠b≠ca։
2. Կառուցվածք:
   • Խորանարդ: Հավասարակողմ մարմին է, որի բոլոր նիստերը քառակուսիներ են։
   • Ուղղանկյունանիստ: Ունի ուղիղանկյուն նիստեր, բայց կողերը կարող են տարբեր լինել, ուստի նիստերը ուղղանկյուններ են։
3. Սիմետրիայի աստիճան:
   • Խորանարդ: Ավելի սիմետրիկ է, քանի որ բոլոր կողմերը և նիստերը հավասար են։
   • Ուղղանկյունանիստ: Սիմետրիան ավելի քիչ է, քանի որ նիստերը և կողերը կարող են տարբեր լինել։

Օգտագործման տարբերություններ

• Խորանարդ: Օգտագործվում է այն դեպքերում, երբ կարևոր է հավասարաչափ կառուցվածքը, օրինակ՝ ձեւավորման և մոդելավորման մեջ։
• Ուղղանկյունանիստ: Ավելի տարածված է առօրյայում, օրինակ՝ սենյակների, արկղերի և տարբեր տարանների համար, որտեղ չափերը հաճախ տարբեր են։

7․ Տրված է հետևյալ ուղղանկյունանիստը:

Ո՞րն է ուղղանկյունանիստի անկյունագծի հաշվման բանաձևը:  Ընտրել ճիշտ բանաձև(եր)ը:

• KM²=KN²+NM²
• AM²=AD²+DC²+CM²
• BN²=BD²+DN²

8․ Հայտնի են ուղղանկյունանիստի նույն գագաթից ելնող կողերի երկարությունները՝  10 սմ,  2 սմ  և  4 սմ: Գտնել  ուղղանկյունանիստի անկյունագծի քառակուսու երկարությունը:  

ուղղանկյունանիստի անկյունագծի քառակուսու երկարությունը հավասար է 120 սմ²։

9․ Հայտնի են ուղղանկյունանիստի հիմքի կողերի երկարությունները՝ 16 սմ, 24 սմ և  ուղղանկյունանիստի  անկյունագծի երկարության քառակուսին՝ 857: Գտնել ուղղանկյունանիստի բարձրությունը:

ուղղանկյունանիստի բարձրությունը հավասար է 5 սմ։

10․ Որոշել խորանարդի d անկյունագիծը, եթե նրա մի նիստի մակերեսը S=49 սմ²է:

խորանարդի անկյունագիծը մոտավորապես հավասար է 12.124 սմ։

1․ Զուգահեռագծի մի անկյունը 4 անգամ մեծ է մյուս անկյունից: Հաշվել զուգահեռագծի անկյունները:

4x+x=5x

5x=180

x=180:5

x=36

4x=144

Պատ․՝ 36⁰, 144⁰, 36⁰, 144⁰:

2․ Զուգահեռագծի C անկյունը 56° է: Գտնել զուգահեռագծի մյուս անկյունները:

Քանի որ զուգահեռագծի հանդիպակաց անկյունները հավասար են, հետևաբար <A=<C=56⁰:

Քանի որ զուգահեռագծի յուրաքանչյուր կողմին առընթեր անկյունների գումարը 1800 է, հետևաբար <A+<B=1800:

<B=180-56=124⁰⁰

Քանի որ զուգահեռագծի հանդիպակաց անկյունները հավասար են, հետևաբար <B=<D=124⁰:

Պատ․՝ 56⁰, 124⁰, 56⁰, 124⁰:

3․ Զուգահեռագծի պարագիծը 36 սմ է: Գտնել զուգահեռագծի կողմերը, եթե կողմերից մեկը երկու անգամ մեծ է մյուսից:

x+2x+x+2x=6x

6x=36 սմ

x=36:6

x=6 սմ

2x=12 սմ

Պատ․՝ 6 սմ, 12 սմ, 6 սմ, 12 սմ։

4․ Տրված է ABCD սեղանը, ∢A=37°, ∢C=121°։ Գտնել ∢B և ∢D։

<B=180-37=1430

<D=180-121=590

5․ Տրված է ABCD սեղանը, EF-ը միջին գիծն է։ AE=EB, CF=FD, BC=28 մ, AD=30 մ: Գտնել EF-ը:

EF=(30+28):2=29 սմ

Պատ․՝ 29 սմ

6․ Սեղանի կողմերը հարաբերում են ինչպես՝ 8:5:12:7, իսկ սեղանի պարագիծը 128 սմ է: Հաշվել սեղանի կողմերը:

8x+5x+12x+7x=128

32x=128

x=128:32

x=4

8x=8 x 4=32 սմ

5x=5 x 4=20 սմ

12x=12 x 4=48 սմ

7x=7⋅4=28 սմ

7․ Ուղղանկյան մի կողմը 11 սմ է, իսկ մյուս կողմը 4 սմ-ով մեծ է: Հաշվել ուղղանկյան պարագիծը:

11+4=15 սմ

P=(11 x 2)+(15 x 2)=52 սմ

P=52 սմ

Պատ․՝ 52 սմ։

8․ Հաշվել շեղանկյան մյուս անկյունները, եթե A անկյունը 67° է:

Քանի որ շեղանկյան հանդիպակաց անկյունները հավասար են, հետևաբար <A=<C=670։

Քանի որ շեղանկյան յուրաքանչյուր կողմին առընթեր անկյունների գումարը 1800 է, հետևաբար <A+<B=1800:

180-67=1130

Քանի որ շեղանկյան հանդիպակաց անկյունները հավասար են, հետևաբար <B=<D=1130:

Պատ․՝ 670, 1130, 670, 1130:

9․ Քառակուսու պարագիծը 84 սմ է: Հաշվել քառակուսու կողմը:

x+x+x+x=4x

4x=84 սմ

x=84:4

x=21 սմ

Պատ․՝ Քառակուսու կողմը 21 սմ է։

10․ Հաշվել շեղանկյան պարագիծը, եթե նրա կողմի երկարությունը 6.75 դմ է:

P=4 x 6.75=27 դմ

P=27 դմ

Պատ․՝ 27 դմ։

11․ Ուղղանկյան պարագիծը 192 մ է և նրա մի կողմը 7 անգամ մեծ է մյուսից: Հաշվել ուղղանկյան կողմերը:

x+7x+x+7x=16x

16x=192 մ

x=192:16

x=12 սմ

7x=84 սմ

Պատ․՝ 12 սմ, 84 սմ, 12 սմ, 84 սմ։

1․ Ո՚ր պատկերն է կոչվում սեղան: GEOGEBRA ծրագրով գծել սեղան:

2․Ինչպե՞ս են կոչվում սեղանի կողմերը:

Սեղանի զուգահեռ կողմերը կոչվում են հիմքեր

3․ Ո՚ր պատկերն է կոչվում հավասարասրուն սեղան:

Սեղանը, որի սրունքները հավասար են, կոչվում է հավասարասրուն սեղան:

4․ Թվարկել սեղանի տեսակները: GEOGEBRA ծրագրով գծել այդ պատկերները:

5․ Նշել  ճիշտ պնդումը:

ա) Ցանկացած սեղանի հիմքերը զուգահեռ են:

բ) Հավասարասրուն սեղանի սրունքները զուգահեռ են:

գ) Ուղղանկյուն սեղանի հիմքերը հավասար են:

6․ Տրված է՝ ∢A=37°∢C=121°։ Գտնել ∢B,∢D

Քանի որ տրված է քառանկյուն, այդ դեպքում քառանկյան ներքին անկյունների գումարը հավասար է 360°-ի.

Այսինքն՝∢A+∢B+∢C+∢D=360°∢A + ∢B + ∢C + ∢D = 360°∢A+∢B+∢C+∢D=360°

Տրված է՝ ∢A = 37° և ∢C = 121°։

Փոխարինենք արժեքները հավասարման մեջ.37°+∢B+121°+∢D=360°37° + ∢B + 121° + ∢D = 360°37°+∢B+121°+∢D=360°

Կատարենք գումարումը.158°+∢B+∢D=360°158° + ∢B + ∢D = 360°158°+∢B+∢D=360°

Այժմ գտնում ենք ∢B + ∢D:∢B+∢D=360°−158°=202°∢B + ∢D = 360° – 158° = 202°∢B+∢D=360°−158°=202°

Այսպիսով, մենք կարող ենք ասել, որ ∢B + ∢D = 202°, սակայն խնդիրը լրացուցիչ տվյալներ չի տրամադրում ∢B և ∢D անկյունները առանձին-առանձին գտնելու համար:

7․ Հաշվել ABCD սեղանի անկյունները, եթե  ∢A=30°

Քառանկյան ներքին անկյունների գումարը միշտ հավասար է 360°-ի.

Եթե ABCD սեղանի անկյուններից մեկը՝ ∢A = 30°, ապա մնացած երեք անկյունների գումարը կլինի հետևյալը.∢A+∢B+∢C+∢D=360°∢A + ∢B + ∢C + ∢D = 360°∢A+∢B+∢C+∢D=360°

Փոխարինելով ∢A = 30°, ստանում ենք.30°+∢B+∢C+∢D=360°30° + ∢B + ∢C + ∢D = 360°30°+∢B+∢C+∢D=360°

Հանում ենք 30°-ը 360°-ից՝∢B+∢C+∢D=360°−30°=330°∢B + ∢C + ∢D = 360° – 30° = 330°∢B+∢C+∢D=360°−30°=330°

Այսպիսով, մնացած երեք անկյունների գումարը պետք է լինի 330°, բայց առանց լրացուցիչ տվյալների, անհնար է գտնել առանձին անկյունների արժեքները (∢B, ∢C, ∢D):

8․ ABCD սեղանի AB սրունքը հիմքի հետ կազմում է 30°: Հաշվիր BK բարձրությունը, եթե AB կողմը 30 սմ է:

9․ Սեղանի հիմքերի հարաբերությունը հավասար է 2:7: Հաշվել սեղանի մեծ հիմքը, եթե նրա փոքր հիմքը հավասար է 12 սմ -ի:

10․ Սեղանի կողմերը հարաբերում են ինչպես՝ 7:6:10:9, իսկ սեղանի պարագիծը 128 սմ է: Հաշվիր սեղանի կողմերը: